Сборник задач по алгебре.

Оглавление.

1.Выделение полного квадрата. Формулы корней квадратного уравнения.
2.Примеры решения квадратных уравнений.
3.Решение неполных квадратных уравнений.
4.Разложение квадратного трехчлена на сомножители.

Определение:

Уравнение вида

, где

Из любого квадратного трехчлена или многочлена второй степени можно выделить полный квадрат, т.е. преобразовать к виду:

.

Для того, чтобы выделить полный квадрат необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения «квадрат суммы» и «квадрат разности»:

Конечно, следует всегда и везде помнить абсолютно все формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим общий вид квадратного трехчлена:

Глядя на формулу «квадрат суммы», нужно привести к такому виду, что первым слагаемым будет квадрат какого-либо выражения:

Второе слагаемое должно быть в виде удвоенного произведения первого выражения (которое в квадрате) на что-либо еще.

Третье слагаемое должно быть квадратом «остатка» второго слагаемого, его следуем прибавить и, для равновесия, отнять:

Первые три слагаемые можно свернуть по формуле :

Это и есть полный квадрат (переменная стоит только внутри скобки)
Формула:

Возвращаемся к решению квадратного уравнения:

Требуется решить квадратное уравнение

Левую часть можно преобразовать и уравнение примет вид:

Перенесем вправо второе и третье слагаемые

Извлечем корень квадратный из обеих частей равенства. Корень извлекается с .

Преобразуем подкоренное выражение:

Перенесем второе слагаемое левой части вправо с противоположным знаком:

Преобразуем правую часть:

Получены формулы для корней квадратного уравнения. Подкоренное выражение называют дискриминантом и обозначается

.

Для решения квадратного уравнения

Замечание: Формулы верны также и для неполных квадратных уравнений, т.е. если или .
Примеры решения различных квадратных уравнений даны в следующей главе.