Третий признак равенства треугольников


Содержание:
  • Геометрия. Урок 8 - Признаки равенства треугольников.


  • Первый признак.Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 
    Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и  угол A равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1. Докажем, что треугольники равны. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1В1, а АС=А1С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1.Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС. 

    Второй признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащих к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
    Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС =∠В1А1С1 и ∠АВС=∠А1В1С1, то луч АС совпадёт с А1С1, а ВС совпадёт с В1С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС. 

    Третий признак. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
    Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1. Приложим треугольник ABC(либо симметричный ему)к треугольнику A1B1C1так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:
    1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1. 

    2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, ∆C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1. 

    3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1. Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1равны по первому признаку равенства треугольников. 


    Источник: https://znanija.com/task/18394131

    Геометрия. Урок 8 - Признаки равенства треугольников.


    Опубликовано: 13.02.2018 | Автор: Изот

    Рейтинг статьи: 5

    Похожие статьи


    Всего 7 комментариев.


    14.03.2018 Анна:
    Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.  Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.

    20.03.2018 Давид:
    Сформулировав и доказав третий признак, мы решаем несколько задач. А после ведём речь об интересном свойстве треугольника, которое следует из третьего признака равенства треугольников.

    20.03.2018 lanfastvenberk79:
    Сформируйте и докажите признаки равенства треугольников (все 3 признака) ПОЖАЛУЙСТА ОЧЕНЬ НУЖНО!!!  Третий признак.

    01.03.2018 birading:
    (Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.  Что и требовалось доказать.

    21.03.2018 Лука:
    Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    06.03.2018 ingimola:
    В третьем признаке равенства треугольников утверждается их равенство по равным трем сторонам. Поэтому требуется доказать, что если у двух треугольников равные стороны, то эти треугольники равны.